(-1)^(1/7)＝exp((2n-1)iπ/7)

こんにちは。代表の山手です。
今日は数字にまつわる少し面白いお話を紹介します。まずは下のリンク先をご覧ください。
http://motcho.hateblo.jp/entry/2016/06/06/222447
 
「-(-1)^(1/7)」を二乗するといくつになるでしょうか？
凄く簡単に見えるのですが、中々深いようです。
 
わたしは(-1)^(1/7)=-1 だと早合点していました。
※　(-1)^7=-1 の両辺を1/7乗すると、-1=(-1)^(1/7)。
 
さて、リンク先の話を紹介すると、a^2=b、b^2=c、c^2=a と2回平方すると元に戻る関係の3つの数の組み合わせはとても貴重とのこと。(0,0,0)、(1,1,1)を除くと下記の二組だとか。
(-(-1)^(1/7),(-1)^(2/7),(-1)(4/7))
(-(-1)^(3/7),(-1)^(6/7),(-1)(5/7))
でも、私としては、-(-1)^(1/7)=-(-1)=1だから、何それ？と思ったわけです。
 
そうか、複素数全体に拡張する話なのか…。理系なのに数学が苦手な私なりに、考えてみました。
(-1)^(1/7)は、x^7=-1の解全てを表すとして考えてみます。
-1を極座標形式で表現すると、
cos((2n-1)π)+isin((2n-1)π)となります。（nは自然数とします）
 
z=cosθ+isinθ　のときに
z^7=cos7θ+isin7θ　になることを利用すると
x=cos((2n-1)π/7)+isin((2n-1)π/7)=exp(i*(2n-1)/7)
となります。
以上から、x^7=-1の解は
exp(iπ/7)、exp(3iπ/7)、exp(5iπ/7)、exp(7iπ/7)=-1、exp(9iπ/7)、exp(11iπ/7)、exp(13iπ/7)
の7つになります。
 
でも、やはり、私が習った数学では(-1)^(1/7)=-1なのですが・・・

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